§3.5 二元一次方程组的图象解法和解的组数
1．二元一次方程组的图象解法
如果在同一坐标系里画出二元一次方程组里两个方程的图象，就可以根据图象求出方程组的解。这种解法叫做二元一次方程组的图象解法。现在举例说明如下：
例1．用图象解法解方程组
{x-y+2=0, (1)
2x+y+1=0.} (2)
【解】在§3.4的例1里，我们已经画过这两个方程的图象，它们是两条相交直线 AB 和 CD （图3.17)，这个交点P 的坐标是 x =-1, y=1．它就是所求方程组的解。
*我们来说明它的理由。
首先，因为 P 点既在方程（1）的图象 AB 上，又在方程（2）的图象 CD 上．所以它的坐标 x =-1, y =1，既适合方程（1)，又适合方程（2).因此 x =-1, y =1是方程组的解．
反过来，方程组的解，必须同时适合于方程（1）和（2)。所以表示它的点必须既在方程（1）的图象 AB 上，又在方程（2）的图象 CD 上．因此它必须是 AB 和 CD 的交点 P ．这也就是说，除去 x =-1, y =1以外方程组不再有其他的解。
例2．用图象法解下面的方程组：
{2x-3y+4=0,
4x-6y+8=0.}
【解】在§3.4的例2里，我们曾经画过这两个方程的图象，它们是同一条直线（图3.18)。所以在直线上的每一个点的坐标都是这两个方程的公共解，方程组有无穷多组解；
注 这些解可以用下面的式子来表示：
{y=?(2x+4),
x=m(任意的实数)。}
例3．用图象法解下面的方程组：
{2x-3y+4=0,
4x-6y-2=0.}
【解】在§3.4的例2里，我们曾经画过这两个方程的图象，它们是两条互相平行的直线（图3.18)。它们没有公共的点，所以这个方程组没有解．
2．二元一次方程组解的组数
从上面的例子可以知道，二元一次方程组的解可以有三种情况：
(1)有一组解且只有一组解(方程组里两个方程的图象是两条相交直线)。
(2）有无穷多组解（方程组里两个方程的图象是同一条直线)。
(3）没有解（方程组里两个方程的图象是两条互相平行的直线）。
因为平面上两条直线的相互位置关系，只有相交，重合，平行这三种情况，所以二元一次方程组的解的组数，也只可能有这三种情况。
习题3.5
1．用图象法解下列各方程组，并且用代数解法（加减法或者代入法）来检验。
2.(1）求下面两条直线的斜率和 y 轴上的截距：
2x+3y+4=0,
4x+6y-5=0;
(2）利用图象来说明方程组
{2x+3y+4=0,
4x+6y-5= 0}
没有解．
3.(1）求下面两条直线的斜率和 y 轴上的截距：
3x-2y+4=0,
6x-4y+8=0;
(2）利用图象来说明方程组
{3x-2y+4=0,
6x-4y+8=0}
有无穷多组解。
4．已知方程组：
{y= kx +b?,
y = kx +b?,}
(1）在什么情况下，这个方程组没有解？
(2）在什么情况下，这个方程组有无穷多组解？
本章提要
1．一次函数
(1）一般形式： y = kx + b ( k ≠0).、
特例——正比例关系： y = kx ( k ≠0)。
(2）图象是一条直线，它的斜率是k, y 轴上的截距是 b .(k = tan α ,这里 α 是直线向上方向和x轴正方向所成的角。)
(3）性质：
( i ）当 k >0时，函数是均匀增加的；
( ii ）当 k<0时，函数是均匀减少的。
2．方程 ax + by + c =0的图象
(1) a ≠0, b ≠0、图象是直线
(2) a ≠0, b =0、
图象是直线
特例： x =0( y 轴）。
(3) a =0, b ≠0.
图象是直线
特例： y =0( x 轴）
3．用图象法解二元一次方程组的步骤
(1）先在同一直角坐标系里作出方程组的两个方程的图象；
(2）如果这两条直线：
( i ）相交，交点的坐标就是所求的解；
( ii ）重合，方程组有无数组解；
( iii ）平行，方程组没有解。
复习题三
1．回答下面的问题：
(1）怎样判断两个量之间的关系是正比例关系？（列举你所知道的各种方法．)
(2）一次函数 y = kx + b 在什么情况下是上升的？在什么情况下是下降的？
(3）对于一次函数 y = kx + b 来说，是不是有可能使函数的任意两个值的比等于对应的两个自变量的值的比？
(4）在一次函数 y = kx +b中，当 k 的值逐渐增加的时候，直线 y = kx +b的位置将会发生怎样的变化？
［提示：考虑 k >0, k <0两种情况．]
2．设从管口流出的水量 Q （升）和时间 t （秒）间的关系是 Q = kt ，这里 k 是常量，
(1) Q 和 t 间的关系是什么关系？
(2）已知3秒钟内流出的水量是72升，求比例系数 k 是每秒多少升?
(3）用上面的比例系数，求4.5秒钟内管口流出的水量；
(4）用上面的比例系数，求管口流出的水量是100升所需的时间。
3．如果第一个量 x 和第二个量 y 成正比例，第二个量 y 和第三个量z又成正比例。求证第一个量 x 和第三个量z也成正比例。
4.(1）在同一坐标系里作出下列直线：
y =5x-4, y=5x+4;
(2）说明各直线和直线 y =5x相同的地方和不同的地方；
(3）求各直线和坐标轴的交点的坐标。
5．按照下列条件，求直线的方程：
(1）过A( a ,0）和 B (0, b ）两点（ a ≠0, b ≠ Q );
(2）斜率是 m ，并且过点（0, b );
(3）斜率是 m ，并且过点（ a , b ).
6.(1）在同一坐标系里作出下面三条直线：
x+y=5; 2x-y=7; x-y+1=0;
(2）找出这三条直线所围成的三角形三个顶点的坐标。
7．设有方程组：
{a?x+b?y +c?=0,
a?x+b?y +c?=0,}
其中a?,a?,b?, b? ,c?,c?都不等于零，求证：
8．利用上题的结论，求方程组
{2x- y =1,
2x+ ky =3}
中， k取什么值的时候，它就没有解。
9．利用图象解方程组
{mx+ y =3,
x + my =3.}
(1) m =2;
(2) m =1;
(3) m =-1;
(4) m =0.
*10．根据实验，在0℃时，100克水内可以溶解30克氯化铵；在50℃时，100克水内可以溶解50克氯化铵．已知在0~50℃的范围内，氯化铵的溶解度是温度的一次函数。试写出这个函数关系，并且计算在20℃时100克水内可以溶解多少克氯化铵？
几张图片后公布本章习题答案。
上期链接：
名师彻底讲透初等函数(11)方程ax+by+c=0的图象
https://m.toutiao.com/is/iY265Bc6/
下期预告：第四章 二次函数
在上一章里，我们研究了 x 的一次函数 y = ax + b 。这种函数的解析式 f ( x ）是 x 的一次式。这一章里，我们要研究另一类重要的函数．这类函数的解析式是x的二次式，我们把它叫做 x 的二次函数。
§4.1函数 y =ax2+bx+c (a≠0)
我们来看变量之间下面这些函数关系：
设正方形的一边是x厘米，它的面积是 y 平方厘米，那末变量 y 和 x 间有下面的函数关系：
.......
科学尚未普及，媒体还需努力。感谢阅读，再见。