[高等数学笔记]-二元函数求极值判定法则证明-泰勒公式方法
目录
- 泰勒公式证明
- 一元函数求极值判定法则
- 二元函数求极值判定法则
正文
- 泰勒公式证明
证：泰勒公式就是对一个n阶可导的连续函数用多项式函数来近似。在x=x0点上使得多项式函数与原函数的函数值及1到n 阶导数都相等，则认为在x=x0的一个小的邻域，两者是很好的近似。当n→∞时，则认为两者完全相等。当n取有限值时，则有n阶的高阶无穷小余项。泰勒公式可以由递推产生
第一步，令
第二步，令
同理可知
第N+1步，令
则
这个步骤可以无限重复进行。实际应用中我们定义多项式函数f1(x)取有限项，忽略余项。余项是n阶的高阶无穷小项。所以
得证。
- 一元函数求极值判定法则
对于一元函数f(x) ，其极值点可能出现在导数为0的点或者导数不存在的点。
如果函数f(x) 在x0处可导且导数为0，即 f’(x0)=0 ，然后通过二阶导数f”(x0)来判断是极大值还是极小值：
当f”(x0)<0时，x0为极大值点；
当f”(x0)>0时，x0为极小值点；
当f”(x0)=0时，无法用此方法判断，需用其他方法进一步判断。
证：
忽略高阶无穷小余项，得
1）把f’(x0)=0 ，f”(x0)<0代入上式得
当且仅当x=x0时取等号。因此为极大值。
2）把f’(x0)=0 ，f”(x0)>0代入上式得
当且仅当x=x0时取等号。因此为极小值。
当f’(x0)=0 ，f”(x0)=0时，余项不能忽略，本方法失效。需用其他方法判断。
得证。
- 二元函数求极值判定法则
对于二元函数f(x,y) ，其极值存在的必要条件是：
充分条件是：满足上述必要条件并且满足下列条件
其中
证：关于二元极值必要条件有个比喻：无论从南北向还是东西向登山，山顶都是最高处。
其中
忽略高阶无穷小余项，得
把
代入上式得
定义
其中
将其看作（x-x0) 的二次多项式。
当△<0时，二次方程没有实根，抛物线与x轴无交点。
- 当a>0时，抛物线开口向上。因此△f>0。于是f(x,y)>f0。当且仅当x=x0,y=x0
时取等号。则f(x,y) 有极小值。
- 当a<0时，抛物线开口向下。因此△f<0。于是f(x,y)
时取等号。则f(x,y) 有极大值。
当△=0时，二次方程有两个相等实根，抛物线与x轴有一个交点。当 (x-x0) 取值
变化时有可能使得△f=0。无法确定f(x,y) 是否有极值。
当△>0时，二次方程有两个不等实根，抛物线与x轴有两个交点。当(x-x0) 取值
变化时，△f在正负之间变化。因此f(x,y) 无极值。
得证。
注：我有个想法。公式里面x,y地位是对称的。如果把条件换成“如果c>0,c<0”应该一样可以。
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