《引言》
数学有其最严谨的数理逻辑。数学史上，每个难题的解决只有一条路：从已知的知识出发也就是在已知的各个定理、定律的基础上，架设一座从已知到未知的桥梁，即用创新的方法，找出一种途径使要解决的难题与其周边已知的规律相连接，最后通过正确的数理逻辑进行证明、解决难题。本文是应用初等数论的有关知识来证明孪生素数猜想的，对初等数论知识解决难题不感兴趣的，本文只能浪费你的时间。
非1奇数不是素数就是合数这就是已知一，已知二是所有上述合数可以被表达出来并能找出其规律，关键的桥梁是奇数核概念和同核概念的发现和提出，建立孪生奇数函数，分析四类孪生奇数核的特质，从关连的合数核上找出突破点，找出全素数条件解析式和证明孪生素数猜想。
1）孪生奇数函数是2n+1与2n-1两个函数的组合体。可简单表示为2n±1，1个n得到一对孪生奇数。
2）孪生素数加上单体素数是全体素数。虽然全体素数是无穷多的己被证明，但这决不是证明了孪生素数有无穷多。难点是必须把孪生素数从全体素数中分离开来，单独证明孪生素数有无穷多。
3）令奇数核轴即非零自然数N*趋向无穷时、一对孪生素数核的个数为T(x)、若T(x)≥1、则孪生素数有无穷多成立，但这只是弱证明。必须证明在经过去除集内域后，集外域中孪生素数核为∞，这个强证明才是孪生素数猜想的终结证明。
4）论证过程中可得到全部奇素数的条件解析式，以及验证方法。
(—)、基本概念
奇数函数、f(n)=2n+1(n∈N)自然数n从0开始的每一个数都确定地唯一地对应了一个奇数。自变量为n、这个n的范囲，一根连续的自然数轴就是f(n)的定义域。 f(n)的值域就是全部奇数，(1、∞)。不间断连续的自然数n所一一对应形成的不间断的奇数也被定义为连续的奇数。它们每个数间距离为2。三个连续奇数、以中间数定位，比中间数小的称作前继数，比中间数大的称为后续数。
每个自然数n对应了一个奇数2n+1，每一个奇数2n+1也对应了一个n，这种一一对应的函数关系中n是奇数2n+1这个函数最重要的核心。2n+1奇数中的n被定义为“奇数核”。如果此奇数为素数则n定义为“素数核”，此奇数为合数则n定义为“合数核”。
2n+1 （n∈N) 所有定义域中的奇数分类：
a、合数：除了含有1、和自身这两个数的因数之外自身还可以分解成其它二个或二个以上直到无限多的因数，这种数定义为合数。
b、素数：只含有1和自身这两个数的因数，定义为素数。素数中再细分为两类、一类是两个素数之间相隔距离为2的被定义为一对“孪生素数”，而另一类就是通常指的一般性素数，它的确切定义是：三个连续奇数、中间一个是素数，它的前继数和后续数均为合数，这个素数定义为“单体素数”。
c、最特殊的奇数1，它既不是合数也不是素数。
(二)、2n+1奇数函数中的合数，合数核集(H)，以及(H)集的值域性质
研究奇数性质必须研究奇数核性质，揭开奇数的深一个层次的规律。
1）非1奇数中所有合数的构成：所谓合数即除了1和自身外还存在两个和两个以上因数的数。所以奇数中的全部合数可表达为2n+1=(2m+1)(2S+1)(2t+1)……(2w+1) [m、S、t、……w∈N，各变量可以不同也可以表示相同数值，但所有变量中不能同时为零，至少有两个变量为非零自然数N*]。
综合上述奇数中全部合数表达式，最终奇数中的全部合数2n+1=P(i)(2G+1) 。 [P(i)、P为奇素数、i为奇素数的序号。例：P(1)=3、 G∈N*]。式中明显表达了合数至少有两个非1非自身的因数、P(i)已表达了一个素数因数，而2G+1由于G∈N*即G的取值是非0的全部自然数，使2G+1、已囊括了全部奇数中的任何一个，若2G+1是素数、则此数由两个因数乘积组成当然是合数，除此之外2G+1可能由几个因数组成只需看G取什么值而已，当然可以包含所有可能的多因数，直至无穷多个因数。所以2n+1=P(i)(2G+1)完全符合全部合数的充要条件。
2）奇数中所有合数2n+1=P(i)(2G+1)从中得到合数核n=[2P(i)G+P(i)-1]/2=P(i)G+[P(i)-1]/2 ……(H)。[G∈N*]。P(i）是从3开始的所有素数，G是所有非零自然数，P(i)用3、5、7、11……等具体奇素数代入得出一个两元无穷数列群：3G+1、5G+2、7G+3、11G+5……P(i)G+[P(i)-1]/2 ……(H)。[P(i)为所有奇素数、G∈N*]。这就是（H)中各个合数核系列。G再用1到无穷任一自然数代入得到每一系列的具体的合数核，到此我们就已知了所有合数核。（例如G=1得到每个系列的核值为4、7、10、16……代入2n+1就是合数9、15、21、33……，G为任一自然数、代入任一系列，均得出合数核，合数核值n代入2n+1中都成为合数，无一例外）。
3）(H)展开的合数核系列的值域范囲：由每个P(i)产生了一个等差数列，P(i）的无穷性决定了有无穷个公差为P(i)的等差数列，由G是非零自然数决定了每个等差数列的无穷性，所以(H)是一个两元双无穷构成的合数核数列群。对各系列可以由公差即素数P(i)来命名，列如3系列、5系列、7系列……P(i)系列。
在目前数学界的公认事实是素数在自然数中的存在是无序的，除了唯一的3、5、7连续的奇素数外、再也不存在三个或三个以上连续的奇素数，这表明素数在数轴上是间断的不连续的，由素数定理可知随n的不断趋大素数密度是趋小的，而且早巳被殴几里德证明素数是无穷多的，这表明在数轴上素数随n增大素数间距离增大但是它的存在是无穷的。
非1奇数、非素即合，即数轴上素数与合数是互补的，这就说明了合数的分布状态与素数相同，唯一差别是素数疏处、互补的合数就密，n越大、互补的合数就越密，且合数也是无穷的。
已经确定的是全部自然数轴从零到无穷每个数全部是奇数的核n值（n∈N)，而非1奇数只可能是合数或素数，由函数的一一对应性即互定性可知这根连续的自然数轴N*上（取零时2n+1为1、1不是合数也不是素数、无核点、零点去除)一定存在两种核、不是合数核就是素数核，得出的结论：在非零奇数核轴N*上、合数核与素数核是互补的，也不存在任何空白点。各自核值的分布状态互相间隔，但各区间的各自的密度不同而已。
(三)、构造孪生奇数函数
众所周知孪生素数是指一对素数它两之间的距离为2、那么这对素数称作孪生素数，如果构造成一个孪生奇数函数、每一个应变量n就会得出一对相差2的奇数，那么这个孪生奇数函数的所有值就一定包含了孪生素数，给寻找孪生素数提供了范囲和方法。
任何相差2的两个奇数、定义为孪生奇数，可见任何两个相邻的两个奇数都是孪生奇数。也就是在2n+1中、n相差1的两个奇数是孪生奇数。但是2n+1必须连续取二次值才能产生一对孪生奇数，这对进一步研究并无开拓性。
如果能构造出一个函数、一个n就能出一对孪生奇数，则研究这个函数的性质、将会有新的发现，所以就必须引进另外一个奇数函数，这就是2n-1。实质上它就是2n+1、因为2(n+1)-1=2n+2-1=2n+1，也就是对2n-1而言、只要自变量n增加1，它就成为2n+1，差异只在于2n-1表达奇数时、它的定义域为非零自然数N*只比2n+1的定义域少了一个元素0。而当n相同时2n+1与2n-1产生两个奇数它们的距离是2，于是孪生奇数函数产生了：
这就是f1(n)=2n+1、f2(n)=2n-1，即f1与f2的组合函数。显然可简化为f(n±)：2n±1。 n定义域为N*即(n∈N*)。组合函数的每个n组成一对孪生奇数，在定义域内得到了N*对孪生奇数，囊括了自然数中所有的孪生奇数对。组合函数的值域就是[(1、3)，(∞、∞)]。（而且除1以外所有奇数均出现两次)。
(四)、孪生奇数函数2n±1(n∈N*)的性质
显然对2n-1来讲n增加1就成了2n+1奇数函数、即2(n+1)-1=2n+2-1=2n+1，所以在2n-1时要应用2n+1的结论，例如已知2n+1的合数核数列群n=(H)，求(2n-1)的合数核数列群，只需将n增加1代入2n-1中，就成为2n+1的合数核数列群、无需再证明。于是2n-1的合数核数列群就是n+1=(H)+1={P(i)G+[P(i)-1]/2}+1=P(i)G+[P(i)+1]/2……。 展开后就是3G+2、5G+3、7G+4、11G+6……P(i)G+[P(i)+1]/2。……(H-)
孪生奇数函数2n±1每一个n值得出相差2的两个奇数、这两个奇数具有一个共同的n，所以2n±1也可称为“同核奇数函数”。(题外话：人类的孪生大都数也是受精卵的分裂造成的、所以人类的孪生兄弟实质上也是同核兄弟)。2n±1中2n+1、2n-1，这两个奇数的组合能得出什么样性质的两个同核也就是两个孪生奇数呢？
a、两个奇数都是合数则称此n为“孪生合数核”。
b、两个奇数都是素数、这就成为一对孪生素数，则称此n为“孪生素数核”。
c、两个奇数一个是合数另一个是素数，而合数出现在2n+1位置上、此时n称作“孪生素合核”。
d、两个奇数一个是合数另一个是素数，而合数出现在2n-1位置上、此时n称作“孪生合素核”。
c、d、这两种情况此n称为“孪生异质核”。(此处的异质即指这两个数—个是合数另一个是素数)。
只可能这四种情况，因为非1奇数不是合数就是素数，无论两个奇数如何排列、组合，产生的一对孪生奇数决不会超出这四种情况。
(五)孪生奇数函数2n±1中四种组合的n核的特征
(1)、上述c组合的“孪生素合核”：2n±1中2n-1为素数、2n+1为合数，此时虽然n是2n-1的素数核，但n也是2n+1的合数核，所以n—定在(H)集合中。
重要推论：2n-1的素数核n被含在2n+1的合数核集(H)中。
(2)、上述d组合的“孪生合素核”：2n±1中2n-1为合数、2n+1为素数，此时虽然n是2n+1的素数核、但n也是2n-1的合数核、所以n一定在(H-)集合中。
重要推沦：2n+1的素数核n被含在2n-1的合数核集(H-)集合中。
(3)、上述a组合的“孪生合数核”：2n±1中2n+1、2n-1，都是合数，此时n既在合数核(H)集合中、又在合数核(H-)集合中，也就是在(H)∩(H-)交集中。
这个交集、孪生合数核的具体形式也是可求的，只不过与(H)、(H-)一样也是双无穷系列，可见孪生合数在奇数中也是无穷多的。下面简单列出若干项：15n+2(n∈N*)、15n+13(n∈N)、21n+4(n∈N*)、21n+17(n∈N)、33n+5(n∈N*)、33n+28(n∈N)、39n+7(n∈N*)、39n+32(n∈N)、51n+8(n∈N*)、51n+43(n∈N)、57n+10(n∈N*)、57n+47(n∈N)、69n+11(n∈N*)、69n+58(n∈N)、87n+14(n∈N*)、87n+73(n∈N)。这个(H)∩(H-)交集简称为(H±)。
这个交集(H)∩(H-)实用性很强，无论2n+1、2n-1，后面会讲到找素数和验证素数时必定用到。方法简单，对2n-1函数，用(H)集中的每个系列将非零自然数代入，例如(H)集的3n+1系列、n用1、2、3、4、5，……等数代入，得出的核值为，4、7、10、13、16，……对照(H±)中的具体数值、是(H±)中的数值代入2n-1就一定不是素数，是合数，本例中13是(H±)中的值代入后就是25、是合数，只要不在(H±)中的所有值、代入后必为素数。同理，对2n+1函数，用(H-)集中每个系列将非零自然数代入，例如(H-)的3n+2系列、n用1、2、3、4、5……等数代入，得出的核值为5、8、11、14、17……，而17就是(H±)中的值、代入2n+1=35是合数，而不在(H±)集中的所有数值代入2n+1就是素数。
下面将上述的若干项用数字代入后列出一些(H±)具体数值，可参考备用：
13、17、25、28、32、38、43、46、47、58、59、61、62、67、71、73、77、80、85
88、92、94、101、103、104、107、109、110、118、122、124、127、130、133、137。
143、145、148、149、151、152、160、161、163、164、167、170、172、178、181。
182、185、188、193、196、197、202、203、206、208、212、214、218、223、226。
227、235、236、238、241、247、248、256、259、263、265、266、269、275。
277、280、287、290、292、295、298、302、305、311、314、319、325、332。
334、335、344、349、352、356、358、362、365、368、383、389、391、397。
400、401、403、416、421、422、424、425、434、436、446、451、457、461。
466、467、472、475、490、494、500、502、503、508、514、518、523、536。
539、541、553、560、563、569、578、580、595、604、610、617、620、620。
623、632、637、655、671、674、679、682、694、701、706、710、722、731。
748、751、757、769、770、788、797、808、839、845、856、884、886、908。
943、955、971、977、1024、1030、1046、1117、1145、1204、1232、1291。
[均为(H)、(H-)的3系列与相对的其它系列各项交叉取项列等式计算后、结果仍以n表示，取项少，数据必有缺失，手算也可能有错，只作参考，见谅]。
(4)、上述b组合的“孪生素数核”：2n±1中2n+1、2n-1，都是素数，显然此时n既不在合数核(H)集合中，也不在合数核(H-)集合中，即存在于(H)、(H-)两集之外的区域，但是必定在自然数N*即奇数的核轴集合中。
(六)定论
孪生奇数函数：2n±1中的自变量n(即核)涉及六个集：
(1）、n定义域集，非零自然数集即N*全集，也就是全部孪生奇数核的核集。
(2）、2n+1函数的合数核集即[P(i)G+（P(i)-1）/2]这个集就是(H)集。[各字母含意同上。G∈N*]。这个(H)集还内含2n-1函数的素数核。
(3)、2n-1函数的合数核集即[P(i)G+（P(i)+1）/2]这个集就是(H-)集，[各字母意义同上。G∈N*]。这个(H-)集还内含2n+1函数的素数核。
(4)、（H)、(H-)两个合数核集中的部分元素，既在(H)集中又在(H-)集中，即（H)、(H-)的交集(H)∩(H-)。简称为(H±)集。
(5)、(H)、(H-)、[内含(H)∩(H-)交集]两集之并集(H)∪(H-)称为D集。
(6)、D集以外，但仍是N*集的元素，即D集的补集。（N*是全集、内含D集及D集的补集）。
结论
（1)、孪生素数函数：2n±1 (n∈N*、n≠1）。2n+1、2n-1，都为素数。
n≠P(i)G+（P(i)-1）/2 [（H）集]、且 n≠P(i)G+（P(i)+1）/2 [（H-）集]。[P为自3开始的所有奇素数(i)为素数的序号。例：P（1)即奇素数3，G∈N*]。即n是全集N*中的D集的补集中的元素。从核的归属上看，这样就成功地将孪生素数核与其它性质的核，全部分开：孪生合数核、合数核、单体素数核都集中在D集中，而孪生素数核则在D集的补集中。这就将孪生素数与单体素数成功分离，为证明孪生素数猜想创造了前提条件。
(2)、孪生合数函数：2n±1 (n∈N*)。2n+1、2n-1、都为合数。n=P(i)G+(P(i)-1）/2 [（H)集]，且 n=P(i)G+（P(i)+1）/2 [（H-)集]。[P(i)、G意义同上]。即n是（H)∩(H-)交集的元素。即n是(H±）集元素。
(3)、2n+1是素数，(n∈N*)则n满足的条件为：
n=P(i)G+(P(i)+1）/2 ……(H-)集、且n≠P(i)G+(P(i)-1）/2 ……(H)集。[P(i)、G意义同上]。即n在(H-)集合中、但n不是（H)∩(H-)交集中的元素，即n不是(H±）集中的元素。由(H-）集的无穷性可知2n+1素数的无穷性。
(4)、2n-1是素数，(n∈N*)则n满足的条件为：
n=P(i)G+(P(i)-1）/2 ……(H)集、且n≠P(i)G+（P(i)+1）/2 ……(H-)集。[P(i)、G意义同上]。即n在(H)集合中、但n不是(H)∩(H-)交集中的元素，即n不是(H±)中的元綦。由(H)的无穷性可知2n-1素数的无穷性。
所以(3)、(4)、两式的总和就是全素数的解析表达式。
(5)、1、全素数的内涵就是同时也包括了所有的孪生素数，此时一对孪生素数是化成一大一小两个异质素数出现在全部素数中。
若此时孪生素数核为a(当然a是不可能在H、H-、两集中的)，小的一个异质素数核n为a-1则成为2n+1是素数、2n-1是合数的孪生异质组合中；大的一个则异质素数核为a+1、即2n-1是素数、而2n+1是合数的孪生异质组合中，(注意两个核值相差2)，即各自存在于孪生合素和孪生素合的组合内。
(另外，由于2这个数是（H)、(H-)两集下限外的数、但确是D集的补集中的元素、2这个孪生素数核产生的孪生素数对为3和5补全了所有奇素数）。
2、从单体素数的定义我们可知，单体素数可与前继合数组成孪生奇数对，也可以与后续合数组成孪生奇数对，所以每个单体素数必定在2n+1中出现、也一定会在2n-1中也出现(但核值相差1)，所以2n+1、2n-1中的单体素数的数量相同。
但是孪生素数就不同了，其中小的素数只能与前继合数组成孪生合素核，所以这个小的素数只能出现在2n+1中。大的素数只能与它的后续合数组成孪生素合核，所以大的素数只能出现在2n-1中，这也就是讲构成孪生素数的大、小两个素数是不可能同时在2n+1中出现也不可能同时在2n-1中出现。(两者核值相差2)。这也是寻找孪生素数的一个方法，在某个数段，按(3)、(4)的法则找出所有2n+1的素数、再同时找出2n-1的素数，两奇数函数中分别单独出现的那些素数就是孪生素数。
所以要表达全素数解析式，就必须採用2n+1和2n-1所表示的所有奇素数。(本文全素数只指奇素数、偶素数2不可能体现在解析式中)。
但是这并不与“各自表达了一部分素数、而两者之和就是全部奇素数”相悖。（又因为最小奇合数为9、所以用此法得出的最小奇素数是7）。（3)和(4)就是自然数中的“全素数”的条件解析表达式。
数学界有人提出唯一的三连奇素数3、5、7、只能列入一对孪生素数5、7，而3、5这对因为有5这个素数重复使用，所以不能列入孪生素数对，这样与其它的所有孪生素数就条件一致了，这个条件就是孪生素数中的任何一数不能在其它孪生素数中重复出现。本人赞同这种规定。
3、所以(3)、(4)、就是全部奇素数的条件解析式。可用于生成素数，验证素数，寻找素数，识别孪生素数。
4、素数的本质是：自然数从零开始、“加1生成新数”的过程中，这个新数自己形成的一个新循环、不是任何一个前继的所有数(0、1除外)形成小循环的整数倍，这个新生成的数就是素数。所以想直接找出素数的“通项公式”是十分繁琐而困难的，构造了孪生奇数函数就是可以通过孪生的合数，找出合数的规律，解决同核的素数规律，得到类似“通项公式”的条件解析式。为寻找素数开出新路。
5、对于1的定义：1不是合数也不是素数。“从0开始、加1形成新数”的无限过程就是自然数形成的全部。这里的1是自然数的“单位递进基数”，这就是1的定义，也可简称1是自然数的“递进基数”或称“基数”。
(七)、孪生素数猜想证明
一、孪生奇数核n(n∈N*)可归结为二大集合：在孪生异质核中、2n+1的合数核在(H)集合中同时又内含了2n-1的单体素数核。2n-1的合数核在(H-)集合中同时又内含了2n+1的单体素数核。而孪生合数核则存在于(H)∩(H-)交集中。所以(H)、(H-)[包括交集(H)∩(H-)]，它们的并集(H)∪(H-)就组成了一个D集，这是第一个大集合，内含所有的合数核、单体素数核；而孪生素数核则存在于这个D集之外、也就是在D集的补集中，这是第二个大集它只含有孪生素数核，这两个大集组成了孪生奇数核的全集N*。
二、孪生素数猜想的证明即孪生素数有无穷多的证明：由推导寻找孪生素数核方法导出。
基本知识：正整数的任何一个完美无穷等差数列群总和即是自然数N集。完美等差无穷数列群是指一群直线方程Kn+b(K∈N*且K>1、n∈N、b∈N)构成的正整数等差数列群，各数列的K值相同，群的数列的数量一定与公差K相等，而各数列的常数b必须组成连续自然数(以零开始为常态)。如[3n、3n+1、3n+2]；[5n、5n+1、5n+2、5n+3、5n+4]；[7n、7n+1、7n+2、7n+3、7n+4、7n+5、7n+6]。等等，当n∈N、从零开始代入各式，直至无穷，方括号中的数列群值的总和就是全部自然数N。命名规则：K(Pi)系列自然数N表达式，K即Pi系列自然数N表达式。(当然也可以不是Pi可以是任何大于1的正整数N*。）。上述三例可命名为3系列自然数N表达式、5系列自然数N表达式、7系列自然数N表达式。
显见、(H)及(H-)的展开式，每系列只有两列是在(H)、(H-)中，(各有一列)，3系列只有3n+1、3n+2，5系列只有5n+2、5n+3，7系列只有7n+3、7n+4，……所以每个系列均有P(i)-2列是在(H)、(H-)两集的域外的。这些P(i)-2的(H)、(H-)的集外系列、即集外域，就是孪生素数核的存在区域；这是必要条件，但是要加上充分条件，那就是一定不存在于(H)、(H-)集内的任何系列中，因为在i系列中是集外域的数、而在J系列这个数正是集内域中的数，所以对任何一个确定数值i系列、得到的集外域数值，还需要经过对大于i的相关系列的“甄别”才能得出孪生素数核。只有在N*→∞、P(i)→∞时，即经过所有P(i)系列检验后，每一个集外域的值就一定是孪生素数的核值。
3系列中在(H)、(H-)两集外的只有3n一个分系列，即有可能存在孪生素数核的数量有1/3奇数核总量、即N*1/3。实际上远没有那么多，因为在3n中有可能存在5n’+2、5n’+3、即在(H)、（H-)两集中5系列的数值，所以这个N*/3只有（5-2）/5的(H)和(H-)的集外数域，即(N*/3）x（3/5)。同理往后在7系列时也只有（7-2）/7的集外数域、即集外数域为(N*/3)x(3/5)x(5/7)。对后续的每个P(i)系列都只有[P(i)-2]/P(i)的集外数域……直至无穷。
直观体验及寻找孪生素数核的方法推导：
1）3系列集外域为3n这个分系列（n∈N*)、具体值为[3、6、9、12、15、18、21、24、27、30、33、36、39、42、45。……、3n、（即全部N*/3）]。全部孪生素数核一定隐藏在3n之中。
去除(H)、(H-)中5系列的两列合数核(5n+2、5n+3)即进入5系列的集外域：将3n（奇数核的总量为N*/3）作为一整体、将5系列的集外域纳入3n中、即集外域总量为（N*/3）x3/5具体可得到3n=5n’、3n=5n’+1、3n=5n’+4，整理后原3n形式仍用n表示变量得到只含3、5两系列集外域的三个表达式：15n(n∈N*)、15n+6(n∈N)、及15n+9(n∈N)。[实际数值为：15、30、45、60、75……以及6、21、36、51、66……还有9、24、39、54、69、……。]
集外域总量为：N*x1/3x3/5=N*x1/5。证明是显见的：15系列自然数N表达式共有15项，现在3、5系的集外域表达式只有3项，占自然数的总量为3/15=1/5。
同理纳入7系列集外域、即去除7n+3、7n+4这两列合数核，将上述(N*/3)x3/5作为整体、集外域总量为(N*/3)x3/5x5/7。含有孪生素数核的3、5、7系列的集外域表达式共有十五个。(省略过程)：105n(n∈N*)、105n+15(n∈N)、105n+30(n∈N)、105n+75(n∈N)、105n+90(n∈N)、105n+6(n∈N)、105n+21(n∈N)、105n+36(n∈N)、105n+51(n∈N)、105n+96(n∈N)、105n+84(n∈N)、105n+99(n∈N)、105n+9(n∈N)、105n+54(n∈N)、105n+69(n∈N)。[简单列出前15个集外域的值：6、9、15、21、30、36、51、54、69、75、84、90、96、99、105。]
集外域总量为：N*x1/3x3/5x5/7=N*x1/7。证明是显见的：105系列自然数表达式共有105项，现在3、5、7系列集外域表达式有15项，占自然数总量为15/105=1/7。
从上述数值可以看出：1/3N*即3n集外域，前15个值中有7个孪生素数核即3、6、9、15、21、30、36。占比：7/I5=46.6%
纳入5系列1/3Nx3/5集外域前15个值中有10个孪生素数核即6、9、15、21、30、36、51、54、69、75。占比：10/15=66.6%
纳入7系列1/3Nx3/5x5/7集外域前15个值中有13个孪生素数核即6、9、15、21、30、36、51、54、69、75、90、96、99。占比：13/15=86.6%。
通过上述纳入三个系列集外域值从直观上也可得出一条：随着纳入集外域的P(i)系列的增多，孪生素数核无疑也大幅增多。这就证实集外域确实是孪生素数核所在领域，集外域大则孪生素数核多。但是、在有限值P(i)的集外域表达式得到的数值一定含有大于P(i)系列的集内域值的，即不可能全部是孪生素数核。
必须理解：隨着P(i)集外域的增加孪生素数核是增加了，这只是表明随着自然数的增大、自然数中内含的孪生素数在增多，(隐含着一个预示、随着N*→∞、孪生素数核会越来越多、可能也→∞），但是集外域所占自然数N*的总额确是减少的，P(3)时占1/3N*，纳入P(5)时占1/5N*，纳入P(7)时占1/7N*，集外域范围的缩小是去除庞大的集内域的必然结果。而10的负n次方只要n为定值、乘以N*、当N*趋于无穷时结果还是无穷。
2）给定一个2M±1孪生奇数找出2M以内的孪生素数核。此时的孪生奇数核就是M、这个核值的大小汲及由P(i)导出的集内域和集外域的范围，已知集内域通项为nP(i)+(Pi±1)/2、舍去影响较小的相对而言的常数项(Pi±1)/2、得到两个变量乘积nP(i)，这时的√M就是√n(Pi)，M为定值即nP(i)为定值，两数相乘、积为定值则两变量相等时、取值范围皆可顾及、所取的值也较全面，所以最大P(j)就一定是取√M中最大的素数。这个√M即最大P(j)、就是要寻找或判断孪生素数核，所需要纳入的P(i)集外域的上限，在这个P(j）上限下得出的核值只要在M之内的(也可以包含M)有可能全部是孪生素数核。显然这只是寻找的方法、属于估算范筹并不精确。
应用：找出所有集外域表达式，列值选取法：
例如：1、2M±1为99、101，求100以内的所有孪生素数核。M=50，√50最大P(i)为7，查看上述纳入7系列的集外域后、集外域的值，只要小于50的：9、15、21、30、36、都是孪生素数核、加上已检验过的而小于7系列集外域的最小值9以外的值6和3，100之内共有7个孪生素数核、7对孪生素数。
例2：求200以内所有孪生素数核。2M=200、M=100、√100=10，10以内最大P(i)=7，最大P(j)还是7，所以还是在纳入7系列中的集外域值中找出小于M即100的值就是200以内的孪生素数核。它们是3、6、9、15、21、30、36、51、54、69、75、90、96、99。共14个孪生素数核。即200之内含有14对孪生素数
例3：求300之内的孪生素数核。2M=300、M=150、√150最大P(j）为11，应将集外域拓展为(N*/3)x(3/5)x(5/7)x(9/11)则集外域展开式为15x9=135个太繁锁可以用电脑编程操作。列出展开式全部的前20项的数值，则小于M即150的数值为、3、6、9、15、21、30、36、51、54、69、75、90、96、99、114、120、135、141。共18个孪生素数核。即300之内含有18对孪生素数。这是寻找和鉴别孪生素数的有效方法，但是计算繁锁必须在电脑编程中使用，但方法有缺陷需核实。
3）M为有限定值时、2M±1内孪生素数核数量的计算法，从上述方法引伸的计算也是估值：
令T(x‘)为有限值M核值内的孪生素数核的数量：首先找出最大上限P(j)即P(j）=√M，然后按公式T（x‘)=M/3x3/5x5/7x9/11x……[（√M）-2]/√M）进行计算。
重复上述三列：1、M=50、√M=√50，P(j)=7则T(x‘)=50/3x3/5x5/7=50÷7=7
2、M=100、√M=√100，P(j)=7则T(x‘）=100/7=14
3、M=150、√M=√150，P(j)=11则T(x’）=150/3x3/5x5/7x9/11=150x1/7x9/11=150x9÷(11x7)=1350÷77=17.53=18。300之内有18对孪生素数。
4、M=300、√M=√300，P(j)=17则T(x’）=
300x1/3x3/5x5/7X9/11x11/13x15/17=300x9x15/(7x13x17)=26.18=26即600以内有26对是孪生素数。
上述两种方法寻找孪生素数核、前一种繁锁、P(j)≤7时最实用；后面这种计算法P(j)较小时较精准，但随着P(j)的增大，素数的密度变小，素数间的距离增大而且无规律性增强，精度下降，需修正。但是这点可以肯定：对于有限的M值，计算出来的T(x’)一定大于、等于，即≥精确值，这是因为由√M得出的P(j)计算得到的集外域中的数、正常情况下在P(j)范围内、但由于素数的不确定性，有个别集外域的值在大于P(j)系列时又成为集内域值了。这就是在确定值M时求集外域的最大缺陷；但是随着P(j)→∞、全部(H)、(H-)集内域全部排除、这就排除了全部不精准的因数、剩下的则一定全部是孪生素数核，这就导出了解决“孪生素数猜想”的根本方法：求lim(N*→∞、P(i）→∞)时的集外域值就是全部孪生素数核值。
4）综上各章节内容所述为了证明孪生素数猜想的几个前提已逐一完成：
1、创建孪生奇数函数，提出了奇数核概念，考察研究了自然数中所有孪生奇数核的组合及其性质特征。
2、将奇数中所有的合数核、单体素数核纳入了(H)、(H-)的并集(H)∪(H-)中即D集中，证明了孪生素数核在D集的补集中，成功将孪生素数核与单体素数核分离。
3、通过寻找孪生素数核的方法，导出证明命题的终极途径：当所有的孪生奇数核即非零自然数N*和素数P（i)趋于无穷时、在去除(H)、(H-)内的所有合数核即集内的所有系列后，也就是去除D集中的所有元素后，孪生奇数核的核轴N*上就只剩下D集补集的元素即D集的集外域元素一一这就是孪生素数核。
三、孪生素数猜想终极证明
（1）、令T(x)为 N*趋于∞、P(i)趋于∞时的孪生素数核的个数，则：
T(x)=∏(集外域中孪生素数核的个数）=（N*1/3）x（3/5）x（5/7）x（9/11）x（11/13）x（15/17）x（17/19）x（21/23）×（27/29）……（P(i)-2）/P(i)>∏(部分项分子缩小后的集外域中孪生素数核的个数），（局部分子项进行缩小变换后便于约分)N*[（1/3）x（3/5）x（5/7）x（7/11）x（11/13）x（13/17）x（17/19）x（19/23）x（23/29）……xP(i-1)/P(i)]=N*/P(i)……(A)
结果T(x)=N*/P(i)。 显见：P(i)∈N*。在N*趋于无穷过程中，只要P(i)出现、那么N*就同时出现，因为P(i)自身就是属于自然数N*、一定有N*=P(i)，即lim（N*→∞、P(i)→∞）N*/P(i)=1。借用一句名言“你的世界由上帝来承救、而上帝正是你自己”，在无穷世界中只要P(i)出现，它自身的N*就同时出现、N*/P(i)就一定等于1。
缩小部分式子中分子，使乘积变小，缩小变换后T(x)=1，所以变换前的T(x)>1。这就是证明在(H)、(H-)两集外，即集外域又称作D集的补集中，在N*、P(i)趋于无穷时，确实有孪生素数核的数值点存在、而且不止一个，即孪生素数核在N*趋于无穷大时是确实存在的，也就是孪生素数核是有无穷多的，即孪生素数是有无穷多的。到此孪生素数猜想己完全证明。
（2）、不过这只是一个弱证明，在N*→∞、P(i)→∞时，N*/P(i)>1。无穷概念是一个无止境无终点的过程概念、无论在无穷过程的某个时刻N*/P(i)>1、恒定成立，这足以说明在无穷过程中直至永无终点的无穷大，恒定有孪生素数核存在，理应孪生素数有无穷多。
然而強证明就应该是在去除集内域、拓展集外域的过程中，随着集外域的系列不断增多，孪生素数核越来越多，直到无穷时，集内域全部去除，剩下的集外域中的孪生素数核有无穷多。
N*/P(i)>1、[N*→∞、P(i)→∞]，那么这个大于1倒底有多大呢？答案是无穷大、∞。
两个已知先提条件：一是所有素数的倒数之和是发散的，趋于无穷大的，这个已早被欧拉证明。二是在全体素数中，单体素数的个数远大于孪生素数的个数。这虽然是个常识但也必须有数理依据。引用张益唐先生最近研究成果：两个单体素数之间距离不大于7千万(7x10^7)的有无穷多个，后又被他人证明两个单体素数之间距离不大于246的也有无穷多个，（最新的成果也被证明两个单体素数之间距离不大于6的也有无穷多），这几个无穷多足于证明单体素数个数远比两个素数距离只差2的孪生素数多得多。
在得到(A)式结果T(x）=N*/P(i)的过程中，为了方便约分，在去掉了集内域的2以外，除了只相差2的孪生素数以外、两个单体素数距离相差4及以上到至7x10^7的都将分子缩小到前一个素数的数值，而舍去了多余数值，这样才能进行全部的前后分子分母约分后，取得了结果T(x)=1。在此处也可见只有两个孪生素数，因为间距只有2、在去除集内域2个系列(即减2)后，已没有多余数值，正好能约分，在求多余值之和时，孪生素数中大的那个素数是不参与求和的只有单体素数参加求和操作，但是孪生素数中小的那个素数就相当于一个单体素数与前面一个素数的距离必定≥4，(除独一例三连奇素数3、5、7以外)，仍有缩小分子后约分的要求，所以必定也参与求和。
求得各项缩小的分子被舍去的部分：运用乘法分配律，将要参加求和的项，即所有单体素数项和孪生素数中值小的那一项，分别、逐一地、恢复到未缩小时的值，再分成两项之和即缩小后的值(a)加上舍去的值(b)这样每项可得到：（乘积的所有前部项）(a+b)(乘积的所有后部项)=前部项xax后部项+前部项xbx后部项，有缩小值a的这一支、（简称为a支），将继续进行以后的缩小操作，而有舍去值b的这一支(简称为b支、以后求出的值按项的顺序加序号称b1、b2、……bi)就参加舍去值求和操作。
显见，a支、按项不断分项操作后，即分出了b1、b2、b3……bi（bi→∞)，得到各参与求和的项，同时a支、一直这么分项进行缩小后约分、最后操作得到N*/P(i)=1。而分出来的所有(b1)、(b2)、(b3)……(bi)(i→∞)求和的各项，原本应该(bi)x后部没有缩小的各项、而且一定恒大于(bi)x后部缩小后的各项，但是为了便于约分求值、只得缩小后部项得到：前部项(已进行过缩小约分及分离)x(bi)x后部缩小后的各项=(bi)xN*/P(i)=(bi)x1=bi，可见这个bi是缩小操作后的值、不影响后续的证明。这样就得到分出来的b支的各b1、b2、b3……bi(i→∞)的值、进行求和操作。
所以现在、(A)式在求T(x)的全过程中、在每一步都是将(A)式每一项分解成两部分、即a支+b支，最后a支精确地得到N*/P(i)=1，而b支在分离后的计算中是按缩小后的值进行约分得到b(i)xN*/P(i)=b(i)X1=b(i)的，最终T(x)=a支+∑bi(下标i=1，上标i=∞)=1+∑bi。
∑bi[下标i=4(i=1、2、3即P(i)=3、5、7不參与求和），上标i=∞]=∑2t/P(i) =2/11+2/17+2/23+4/29+4/37+2/41+2/47+4/53+4/59+4/67+2/71+4/79+2/83+4/89+6/97+……+2t/P(i)。…………(b)。巜1≤t≤[（7x10^7-2）/2]、t为[Pi-P(i-1)-2]/2，P(i)、序号i→∞》。
全部素数倒数之求和：∑(下标i=1，上标∞)， ∑ 1/P(i) =∞ ……(1) ，（其中P为素数、i为素数序号、此处P(1)=2）
全部舍去值之求和：∑[下标t=1，i=4；t上标=（7x10^7-2）/2，i上标=∞；P为素数、i为奇素数序号]。 ∑2t/P(i)……(2)
显见、上式(2)中所有项，每个P(i)均是单体素数，或单体状态的孪生素数中、小的一个素数，每个分子的值均是参与约分时分子所舍去的值、整个(2)式中没有孪生素数中大的那一个，所以(2)式中是缺项的，然而因为单体数量的个数远大于孪生素数，式中2倍单体素数量总和即2x（单体素数+孪生/2）=2倍单体素数+孪生，远大于全体素数量(单体素数+孪生)，即求和项数的总量(2)远远大于(1)。
比较两式大小：∑1/P(i)……(1)；2∑(t/P(i))……(2)。看∑号内、一是(1)式中分子恒定为1，(2)式中分子t最小为1、最大可达（7x10^7-2）/2；二是在求和的项数上(2)式有2倍单体素数+孪生素数量，远大于(1)式中单体素数+孪生素数的数量，三是两者分母都是素数、趋于无穷、(1)中多了前四项1/2、1/3、1/5、1/7、只是有限值123.5/105、不影响无穷求和结果，所以上述三点已证实了(2)求和项总值远大于(1)求和项的总值，综上所述(1)的求和项结果是∞，所以(2)的求和项必为∞。即∑2t/P(i)=∞。
T(x)=1+∑2t/P(i)=∞。
T(x)为孪生素数核的个数，孪生素数核有无穷多，一个核一对孪生素数，所以孪生素数有无穷多。
到此孪生素数猜想一一孪生素数有无穷多的强证明也完成。
全部讲稿于此。虽经过若干次修改，但难免差错和笔误。欢迎专业人士和各界数学爱好者朋友的指导，交流，质疑。