2.黎曼ζ函数与黎曼猜想

那么这个让上帝如此吝啬的黎曼猜想究竟是一个什么样的猜想呢？在回答这个问题之前我们先得介绍一个函数：黎曼ζ函数（Riemann Zeta-function）。这个函数虽然挂着德国数学家黎曼（Bernhard Riemann，1826—1866）的大名，其实并不是黎曼首先提出的。但黎曼虽然不是这一函数的提出者，他的工作却大大加深了人们对这一函数的理解，为其在数学与物理上的广泛应用奠定了基础。后人为了纪念黎曼的卓越贡献，就用他的名字命名了这一函数。

那么究竟什么是黎曼ζ函数呢？简单地说，它的定义是这样的：黎曼ζ函数ζ（s）是级数表达式（n为正整数）

在复平面上的解析延拓（analytic continuation）。之所以要对上述级数表达式进行解析延拓，是因为——如我们已经注明的——这一表达式只适用于复平面上s的实部Re（s）＞1的区域（否则级数不收敛）。黎曼找到了这一表达式的解析延拓（当然黎曼没有使用“解析延拓”这样的现代复变函数论术语）。运用围道积分（contour integral），解析延拓后的黎曼ζ函数可以表示为

这里我们采用的是历史文献中的记号，式中的积分实际上是一个环绕正实轴（即从+∞出发，沿实轴上方积分至原点附近，环绕原点积分至实轴下方，再沿实轴下方积分至+∞——离实轴的距离及环绕原点的半径均趋于0）进行的围道积分；式中的Γ函数Γ（s）是阶乘函数在复平面上的解析延拓，对于正整数s＞1：Γ（s）=（s-1）！。可以证明，上述ζ（s）的积分表达式除了在s=1处有一个简单极点（simple pole）外，在整个复平面上处处解析。这样的表达式是所谓的亚纯函数（meromorphic function）——即除了在一个孤立点集（set of isolated points）上存在极点（pole）外，在整个复平面上处处解析的函数——的一个例子。这就是黎曼ζ函数的完整定义。

运用上面的积分表达式可以证明，黎曼ζ函数满足以下代数关系式——也叫函数方程（functional equation）：

从这个关系式中不难发现，黎曼ζ函数在s=-2n（n为正整数）处取值为零——因为sin（πs/2）为零。复平面上的这种使黎曼ζ函数取值为零的点被称为黎曼ζ函数的零点。因此s=-2n（n为正整数）是黎曼ζ函数的零点。这些零点分布有序、性质简单，称为黎曼ζ函数的平凡零点（trivialzero）。除了这些平凡零点外，黎曼ζ函数还有许多其他零点，它们的性质远比那些平凡零点来得复杂，被恰如其分地称为非平凡零点（non-trivialzero）。对黎曼ζ函数非平凡零点的研究构成了现代数学中最艰深的课题之一。我们所要讨论的黎曼猜想就是一个关于这些非平凡零点的猜想，在这里我们先把它的内容表述一下，然后再叙述它的来龙去脉。

在黎曼猜想的研究中，数学家们把复平面上Re（s）=1/2的直线称为临界线（criticalline）。运用这一术语，黎曼猜想也可以表述为：黎曼ζ函数的所有非平凡零点都位于临界线上。

这就是黎曼猜想的内容，它是黎曼在1859年提出的。从其表述上看，黎曼猜想似乎是一个纯粹的复变函数命题，但我们很快将会看到，它其实却是一曲有关素数分布的神秘乐章。