提要
学习一次函数与一次方程（组），一次不等式之间的关系要明确用一次函数解一元一次方程，就是求直线与x轴的交点坐标，用一次函数解一元一次不等式，就是求函数y>0或y<0的取值范围；用一次函数解二元一次方程组，就是求两条直线的交点坐标。
知识全解
一．一次函数与一元一次方程的关系
当一次函数y=kx+b (k≠0)中的函数值为0时，可得0=kx+b，即kx+b=0，这在形式上变成了x的一元一次方程，也就是说，当一次函数y=kx+b (k≠0)的函数值为0时，相应的自变量的值即为kx+b=0的解；若从图象上来看，则可看作函数y=kx+b (k≠0)与x轴的交点的横坐标即为方程kx+b=0解。可从两个角度来感受一元一次方程与一次函数的关系：一是从函数值的角度考虑，解这个方程就是寻求自变量为何值时函数值为0；二是从函数图象的角度考虑，解这个方程就是确定直线y=kx+b与x轴的交点的横坐标。
二．一次函数与一元一次不等式
(1)由于任何一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0（a,b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数的值大于0（或小于0）时，求相应的自变量的取值范围
(2)而己知函数值y>0（或y<0），求自变量x的取值范围，其实质就是解不等式kx+b>0（或kx+b<0）。若用函数图象解不等式kx+b>0（或kx+b<0），就是求函数图象在x轴上方（或下方）时所对应的横坐标。
(3) 一元一次不等式y1≤kx+b≤y2（y1,y2都是已知数，且y1 三、一次函数与二元一次方程（组） 一次函数的解析式y=kx+ b(k≠0)本身就是一个二元一次方程，直线y=kx+ b(k≠0)上有无数个点，每个点的横纵坐标都是满足二元一次方程y=kx+ b(k≠0)，因此一次方程的解有无数个。每个二元一次方程组都对应两个一次函数，即两条直线，从“数”的角度看，相当于考虑当自变量为何值时两个函数的值相等，以及这个函数值是多少；从“形”的角度看，相当于确定两条直线y=kx+b与y=mx+n的交点坐标。 方法点拨 类型1 一次函数与一元一次方程的关系 例1 甲，乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度y(m)与挖掘时间x(h)之间的关系如下图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题 (1)乙队开挖到30m时，用了___h。开挖6h时，甲队比乙队多挖了___m。 _m. (2)求出：①甲队在0≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式；②乙队在2≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式 (3)当x为何值时，甲、乙两队在施工过程中所挖河渠的长度相等？ 【分析】(1)可以通过图象直接求解 (2) 由于甲队在0≤x≤6的时段内，图像是一条射线，且经过点(6，60)，即x=6，y=60是一次函数的一组解，乙队在2≤x≤6的时段内，图象是一条线段，且经过(2，30)和(6，60)，即x=2，y=30和X=6，y=60是一次函数的两组解，从而可以求解。 (3)依题意可以列出一元一次方程求解。 【解答】(1)观察图象可知乙队开挖到30m时，用了2h，开挖6h时，甲队比乙队多挖了60-50=10 (m) 设甲队在0≤x≤6的时段内y于x之间的函数关系式为y=k1x，由图可知，函数图象过点(6.60)，所以60=6k1，解得k1=10，即甲队在0≤x≤6的时段内y与x之间的函数关系式为y=10x。 设乙队在2≤x≤6的时段内y与x之间的函数关系式为y=k2x+b，由图可知，函数图象过点(2，30)和(6，60)，所以30=2k2+b和50=6k2+b，解得k2 =5，b=20，即乙队在2≤x≤6的时段内y与x之间的函数关系式为y=5x+20。 (3)由题意得10x=5x+20，解得x=4，即当x为4时，甲、乙两队所挖的河渠长度相等。 【方法总结】本题考查了一次函数的应用，施工距离、速度、时间三者之间的关系，待定系数法求函数解析式，列方程解应用题，综合性较强，但难度不大，读懂图象信息是解题的关键。 类型2 一次函数与一元一次不等式的关系 例2 直线y1=x+b与y2=kx-1相交于点P，点P的横坐标为-1，则关于x的不等式x+b>kx-1的解集在数轴上表示正确的是（） 【分析】观察函数图豫，与x> -1时，函数y=x+b的图象部在y=kx-1的图象上方，所以不等式x+b>kx-1的解集为x> -1，然后根据用数轴表示不等式解集的方法方法对各选项进行判断即可 【解答】当x>-1时，x+b>kx-1，即不等式x+b>kx-1的解集为x>-1。 故选A 【方法总结】利用图象解不等式实质就是求取相应函数值时自变量的取值范围。 例3 某办公用品销售商店推出两种优惠方法：①购1个书包，赠送1支水性笔；②购书包和水性笔一律按九折优惠，书包每个定价20元，水性笔每支定价5元。小丽和同学需要买4个书包，水性笔若干（不少于4支）。 (1)分别写山两种优惠方法购买费用y(元)与所买水性笔支数x(支)之间的函数关系式。 (2)对x的取值情况进行分析，说明按哪种优惠方法购买比较便宜。 (3)小丽和同学需买这种书包4个和水性笔12支，请你设计最经济的购买方案。 【分析】 正确理解提要并列出函数和不等式是解答此题的关键。 (1)优惠方法①需要的费用为(x-4)×5+20×4=50x+60；优惠方法②购买需要费用为(5x+20×4)×0.9=4.5x+72 (2)分三种情况加以讨论 (3)直接计算利用优惠方法①所需费用与利用优惠方法②所需费用，再比较结果即可。 【解答】(1)设按优惠方法①购买需用y1元，按优惠方法②购买需用y2元 y1=(x-4)×5+20×4=50x+60 y2=(5x+20×4)×0.9=4.5x+72 (2)设y1>y2，即50x+60>4.5x+72 ∴x>24。 ∴当x为大于24的整数时，选择优惠方法② 设y1=y2，∴x=24时，选择优惠方法均①②均可 ∴当4≤x<24且为整数时，选择优惠方法① (3)因为需要购买4个书包和12支水性笔，而12<24 购买方案一：用优惠方法①购买，需5x+60=5×12+60=120（元） 购买方案二：采用两种购买方式，用优惠方法①购买4个书包， 需要4×20 =80（元），同时获赠4支水性笔； 用优惠方法②购买8支水性笔，需要8×5×90%=36（元） 共需80+36=116（元），显然116<120 ∴最佳购买方案如下；用优惠方法①购买4个书包，获赠4支水性笔；再用优惠方法②购买8支水性笔。 【方法总结】本题考查了用一次函数和不等式解决实际问题，这类问题一是要结合题目给出的条件或生活经验定义函数关系式，正确理解题意列出函数和不等式；二是利用所学的数学知识进行最佳方案的判断。 类型3 一次函数与二元一次方程（组）的关系 例4 如图所示，某地区对某种药品的需求量y1（万件），供应量y2（万件）与价格x（元/件）分别近似满足下列函数关系式：y1=-x+70，y2=2x-38。需求量为0时，即停止供应。当y1=y2时，该药品的价格称为稳定价格，需求量称为稳定需求量。 (1)求该药品的稳定价格与稳定需求量 (2)价格在什么范围内时，该药品的需求量低于供应量？ (3) 由于该地区突发疫情，政府部门决定对药品供应方提供价格补贴以提高供应量。根据调查统计，需将稳定需求量增加6万件，政府应对每件药品提供多少元补贴，才能使供应量等于需求量。 【分析】(1)由题意知当y1=y2时，该药品的价格称为稳定价格，需求量称为稳定需求最，即把y1= -x+70，y2=2x-38联立方程组求解 (2)求该药品的需求量低于供应量时的价格范围，从图象上看就是求交点右侧部分所对应的自变量x的取值范围 (3)正确理解题意是关键，通过联立方程组求解稳定需求量增加6万件，即 y1=34+6=40（万件）；供应量等于需求量，即y1=y2 【解答】(1)由题可得 当y1=y2时，即-x+70=2x-38 ∴3x=108， ∴x=36 当x=36时，y1=y2=34，所以该药品的稳定价格为36元/件，稳定需求量为34 万件 (2)令y1=0，得x= 70，由图象可知，当药品每件价格大于36元小于70元时，该药品的需求量低于供应量。 (3)设政府对该药品每件价格补贴a元，则有 所以政府部门对该药品每件应补贴9元 【方法总结】解决问题的关键是把数学模型与实际问题紧密联系起来。要注意函数图象所表示的实际意义，同时要注意数形结合思想的应用。利用函数图象解决实 际问题，注意“数”与“形”的结合，建立良好的知识联系，注重对图象的研究。本题以药品供应量及需求为背景，综合考查了一次函数与方程组的关系，全面考查了综合运用知识，分析并解决问题的能力。